球谐函数 $Y_{l}^{m}(\theta,\phi)$：su(1,1) 关于 l-m 与 l+m 的正负整数表示

球谐函数 $Y_{l}^{m}(\theta,\phi)$ 的方位角量子数和磁量子数描述了在 $su(2)$ 李代数对称性实现框架下与角动量算符的大小和 $z$ 分量相对应的量子化。方位角量子数 $l$ 通过以 $l$ 表示的算符为自己分配了额外的阶梯对称性。此处表明，在球面上作为紧流形通过球谐函数同时实现这两种对称性，继承了 $su(1,1)$ 李代数对于 $(l-m)$ 和 $(l+m)$ 正整数和负整数的离散不可约表示。因此，除了通过给定 $l$ 的 $Y_{l}^{m}(\theta,\phi)$ 实现 $su(2)$ 紧李代数的酉不可约表示外，我们还可以对于给定的 $l-m$ 和 $l+m$ 值用球谐函数表示 $su(1,1)$ 非紧李代数。