带穿孔曲面的叠层作为 $\tau$-正则不可约分支

设 $\boldsymbol{\Sigma}:=(\Sigma,\mathbb{M},\mathbb{P})$ 为一个具有边界上标记点 $\mathbb{M}\subset\partial\Sigma\neq\varnothing$ 与穿孔 $\mathbb{P}\subset\Sigma\setminus\partial\Sigma$ 的曲面，$T$ 为 $\boldsymbol{\Sigma}$ 在 Fomin-Shapiro-Thurston 意义下的任意带标记三角剖分。由 Cerulli Irelli 与第二作者定义的非退化势 $W(T)$ 对应的 Jacobian 代数 $A(T):=\mathcal{P}(Q(T), W(T))$ 是驯顺的，正如 Schr\"{o}er 与前两位作者所证。本文中，我们证明存在一个自然同构 $\pi_T:\operatorname{Lam}(\boldsymbol{\Sigma})\rightarrow\operatorname{DecIrr}^\tau(A(T))$，其为驯顺部分 KRS-幺半群的同构，且关于 $T$ 交织对偶剪切坐标与不可约分支的泛 $g$-向量。此处，$\operatorname{Lam}(\boldsymbol{\Sigma})$ 为 Musiker-Schiffler-Williams 所考虑的 $\boldsymbol{\Sigma}$ 的叠层集合，以不相交叠层的无交并为部分幺半群运算。另一方面，$\operatorname{DecIrr}^\tau(A(T))$ 表示 $A(T)$ 的装饰表示簇的泛 $\tau$-正则不可约分支集合，以泛 $E$-正交不可约分支的直和为部分幺半群运算，其中 $E$ 为 Derksen-Weyman-Zelevinsky 的对称化 $E$-不变量，$E(-,\bullet)=\dim\operatorname{Hom}_{A(T)}(-,\tau(\bullet))+\dim\operatorname{Hom}_{A(T)}(\bullet,\tau(-))$。