Lévy 过程驱动的随机 Loewner 演化的全局性质

标准 Schramm-Loewner 演化（SLE）由连续布朗运动驱动，进而产生一条连接运动奇异点的连续分形曲线（迹）。若在驱动函数中加入跳跃，迹将发生分支。在近期的一篇出版物 [1] 中，我们引入了一种广义 SLE，由布朗运动与分形跳跃集（技术上为稳定 Lévy 过程）的叠加驱动。当时我们讨论了所得 Lévy-SLE 生长过程的小尺度性质。此处我们讨论同一模型，但聚焦于时间趋于无穷时出现的全局标度行为。这种极限行为独立于布朗强迫，仅取决于定义稳定 Lévy 分布形状的单一参数 $\alpha$。我们通过研究一个 Fokker-Planck 方程来了解这种行为，该方程给出了迹端点随时间变化的概率分布。正如先前研究的短时情形一样，我们观察到该生长过程的性质在 $\alpha =1$ 处发生定性和奇异性变化。我们通过解析和数值方法表明，当 $\alpha > 1$ 时生长沿垂直方向无限继续，当 $\alpha = 1$ 时按 $\log t$ 增长，而当 $\alpha< 1$ 时则趋于饱和。概率密度具有两个不同的标度，分别对应于沿边界和垂直于边界的方向。在前一种情况下，特征标度为 $X(t) \sim t^{1/\alpha}$。在后一种情况下，当 $\alpha \neq 1$ 时标度为 $Y(t) \sim A + B t^{1-1/\alpha}$，当 $\alpha = 1$ 时为 $Y(t) \sim \ln t$。文中给出了各种极限情形下概率密度的标度函数。