Kruskal-Katona 型问题

Kruskal-Katona 定理于 1960 年代被证明。在该定理中，给定整数 $r$ 和集合族 $\mathcal{A}\subset \mathbb{N}^{(r)}$ 与 $\mathcal{B}\subset\mathbb{N}^{(r-1)}$，使得对每个 $A\in\mathcal{A}$，$A$ 的任意大小为 $r-1$ 的子集都在 $\mathcal{B}$ 中。我们感兴趣的是在给定 $r$ 和 $a=|\mathcal{A}|$ 固定值时，求 $b=|\mathcal{B}|$ 的最小值。Kruskal-Katona 定理指出，当 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 均为反字典序的初始段时该最小值达到。Kruskal-Katona 定理非常有用，并已有许多应用和推广。在本文中，我们关注一个特定的推广：不要求 $A$ 的每个大小为 $r-1$ 的子集都在 $\mathcal{B}$ 中，而是仅要求其中 $k$ 个在 $\mathcal{B}$ 中，其中 $k$ 是小于 $r$ 的某个整数。注意令 $k=r$ 即为 Kruskal-Katona 定理。我们首先求出 $0\leq k \leq 3$ 情形的精确结果。对于 $k\geq 4$，我们未完全解决该问题，但求出了无穷多个 $a$ 下的精确结果。我们还提供了一个公式，其与所有 $a$ 的正确结果相差某个加性常数。