Krivine方案是最优的

本文证明，对于每个$k\in \N$，在$\{-1,1\}^{\R^{k}}\times \{-1,1\}^{\R^{k}}$上存在一个Borel概率测度$\mu$，使得对于任意$m,n\in \N$和$x_1,..., x_m,y_1,...,y_n\in S^{m+n-1}$，存在$x_1',...,x_m',y_1',...,y_n'\in S^{m+n-1}$，使得如果$G:\R^{m+n}\to \R^k$是一个随机$k\times (m+n)$矩阵，其元素是独立同分布的标准高斯随机变量，那么对于所有$(i,j)\in {1,...,m}\times {1,...,n}$，我们有$$\E_G\left[\int_{{-1,1}^{\R^{k}}\times {-1,1}^{\R^{k}}}f(Gx_i')g(Gy_j')d\mu(f,g)\right]=\frac{<x_i,y_j>}{(1+C/k)K_G},$$其中$K_G$是实Grothendieck常数，$C\in (0,\infty)$是一个普适常数。这确立了Krivine舍入方法可以任意好地逼近$K_G$。