关于 $\mathbb{R}^n$ 的保正态性 Borel 自同构的两点注记

设 $T$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的双射，且 $T$ 与 $T^{-1}$ 均为 Borel 可测。对于任意 $\btheta \in \mathbb{R}^n$ 及任意实 $n \times n$ 正定矩阵 $\Sigma$，令 $N (\btheta, \Sigma)$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 上以 $\btheta$ 为均值向量、以 $\Sigma$ 为协方差矩阵的 $n$ 元正态（gaussian）概率测度。此处我们证明以下两个结果：(1) 假设对于 $0 \leq j \leq n$，$N(\btheta_j, I)T^{-1}$ 为 gaussian 测度，其中 $I$ 为单位矩阵且 $\{\btheta_j - \btheta_0, 1 \leq j \leq n \}$ 构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组基。则 $T$ 为仿射线性变换；(2) 设 $\Sigma_j = I + \epsilon_j \mathbf{u}_j \mathbf{u}_j^{\prime}$，$1 \leq j \leq n$，其中对每个 $j$ 均有 $\epsilon_j > -1$，且 ${\mathbf{u}_j, 1 \leq j \leq n}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中单位向量的一组基，$\mathbf{u}_j^{\prime}$ 表示列向量 $\mathbf{u}_j$ 的转置。假设 $N(\mathbf{0}, I)T^{-1}$ 及 $N (\mathbf{0}, \Sigma_j)T^{-1}$，$1 \leq j \leq n$ 均为 gaussian 测度。则对几乎处处（a.e.）的 $\mathbf{x}$，有 $T(\mathbf{x}) = \sum\limits_{\mathbf{s}} 1_{E_{\mathbf{s}}} V \mathbf{s} U \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{s}$ 遍历 $2^n$ 个 $n$ 阶对角元为 $\pm 1$ 的对角矩阵构成的集合，$U,\, V$ 为 $n \times n$ 正交矩阵，且 $\{E_{\mathbf{s}}\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的 $2^n$ 个 Borel 子集构成的集族，使得 $\{E_{\mathbf{s}}\}$ 与 $\{V \mathbf{s} U (E_{\mathbf{s}})\}$ 构成 $\mathbb{R}^n$ 模 Lebesgue 零集的划分，并且对每个 $j$，对于所有使得 $E_{\mathbf{s}}$ 的 Lebesgue 测度为正的 $\mathbf{s}$，$V \mathbf{s} U \Sigma_j (V \mathbf{s} U)^{-1}$ 与 $\mathbf{s}$ 无关。该结果的逆亦成立。\vskip0.1in 我们的结果是对 S. Nabeya 和 T. Kariya 结果的强化。