高阶动力系统的Kosambi-Cartan-Chern (KCC)理论

Kosambi-Cartan-Chern (KCC)理论是研究动力系统性质的一种强有力的数学方法。KCC理论引入了对动力系统时间演化的几何描述，其解曲线由受Finsler空间中测地线理论启发的方法来描述。通过引入一个非线性联络，动力系统的演化被几何化，该联络允许构造KCC协变导数和偏离曲率张量。在KCC理论中，任何动力系统的性质都用五个几何不变量来描述，其中第二个不变量给出了系统的Jacobi稳定性。通常，KCC理论是通过将动力学演化方程约化为一组二阶微分方程来表述的。在本文中，我们引入并发展了针对由任意$n$维一阶微分方程组描述的动力系统的KCC方法。我们详细研究了$n$维自治动力系统的性质，以及线性稳定性与Jacobi稳定性之间的关系。作为一个主要结果，我们发现只有偶数维动力系统可以同时表现出Jacobi稳定和不稳定行为，而奇数维动力系统无论其Lyapunov稳定性如何，总是Jacobi不稳定的。作为所发展形式理论的应用，我们分别考虑了复杂动力学网络和$\Lambda$-冷暗物质宇宙学模型的几何化及其Jacobi稳定性研究。