级联系统的 Koopman 谱

本文考虑级联动力系统的 Koopman 主特征函数的演化。如果每个组件子系统是渐近稳定的，组件子系统线性部分的矩阵范数严格递增，且组件子系统具有不相交的谱，则存在针对每个组件子系统初始条件的扰动函数，使得级联系统和解耦组件子系统的轨道具有零渐近相对误差。这意味着这些演化是渐近等价的；稳定系统的级联组合是稳定的。这些结果对于具有线性组件子系统动力学和线性耦合项的级联系统，以及拓扑共轭于线性情形的非线性级联均成立。我们进一步表明，每个组件子系统的 Koopman 主特征值也是级联系统的 Koopman 特征值。级联系统相应的 Koopman 特征函数是通过扩展组件系统主特征函数的定义域，然后将其与扰动函数复合而形成的。