稳定不动点动力学作用 - 角变量表示中的等稳线、等时线与 Koopman 谱

对于渐近周期系统，通过计算所谓的等时线（即收敛于极限环上同一轨迹的点集），可以获得强大的动力学（相位）降维。受可激发系统分析的启发，人们尝试对具有稳定不动点的非周期系统进行类似的降维。在这种情况下，虽然仍可定义等时线，但它们无法捕捉轨迹的渐近行为。相反，我们称为等稳线的感兴趣集合在文献中被定义为收敛于不动点稳定慢流形上同一轨迹的点集。然而，事实证明，这一定义仅适用于具有快慢动力学的系统。此外，目前缺乏计算等稳线的有效方法。本文基于所谓 Koopman 算子的谱性质，为稳定不动点等稳线的定义和计算提供了一个通用框架。更确切地说，等稳线被定义为 Koopman 算子特定特征函数的水平集。通过这种方法，等稳线成为与系统渐近性质相关的唯一且良定义的对象。该框架还揭示了等稳线和等时线是两个不同但互补的概念，它们共同定义了动力学的动作 - 角坐标。此外，我们获得了一种计算等稳线的高效算法，该算法依赖于沿轨迹评估 Laplace 平均。本文以可激发的 FitzHugh-Nagumo 模型和 Lorenz 模型为例说明了该方法。最后，我们讨论了这些基于 Koopman 算子框架的方法如何与系统的全局线性化以及特殊 Lyapunov 函数的推导相关联。