鞠线、素数与鞠类空间

我们表明，规模站$X_{\mathbb Q}$及其长度为$\log p$的周期轨道$C_p$提供了一个关于素数与鞠线类比的几何框架。最大可交换覆盖的作用由映射$\pi:X_{\mathbb Q}^{ab}\to X_{\mathbb Q}$从鞠类空间$X_{\mathbb Q}^{ab}:={\mathbb Q}^\times \backslash {\mathbb A}_{\mathbb Q}$到$X_{\mathbb Q}=X_{{\mathbb Q}}^{ab}/{\hat{\mathbb Z}^*}$实现。周期轨道$C_p$的原像$\pi^{-1}(C_p)\subset X_{\mathbb Q}^{ab}$在可数化以太基本群$\pi_1^{et}({\rm Spec} \,{\mathbb Z}_{(p)})^{ab}$的乘法Frobenius上，标准同构于映射环面，从而展示了$p$与所有其他素数的链接。正如 Grothendieck理论将以太基本群的方案理论扩展为方案的Galois理论一样，鞠类空间作为规模站的覆盖，为与${\rm Spec} \,\mathbb Z$相关的方案提供了相应的类场同构的扩展。