骑士比国王快24/13倍

在无限棋盘上，骑士到达一个方格平均比国王快多少？更一般地，对于互质的$b>a \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$且$a+b$为奇数，定义$(a,b)$-骑士和国王分别为：\n\begin{equation*} \begin{aligned} \mathrm{N}_{a,b} = \{(a,b), (b,a), (-a,b), (-b,a), (-b,-a), (-a,-b), (a,-b), (b, -a)\},\newline \mathrm{K}=\{(1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1), (1,-1)\} \subseteq \mathbb{Z}^2, \end{aligned} \end{equation*}\n一种表述这个问题的方式是，对于盒子中的$\mathbf{p}\in \mathbb{Z}^2$，求$\min\{h\in \mathbb{Z}_{\geq 1} ~|~ \mathbf{p}\in h\mathrm{N}\}$与$\min\{h\in \mathbb{Z}_{\geq 1} ~|~ \mathbf{p}\in h\mathrm{K}\}$的平均比值，其中$hA = \{\mathbf{a}_1+\cdots+\mathbf{a}_h ~|~ \mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_h \in A\}$是$A$的$h$重和集。我们证明这个比值等于$2(a+b)b^2/(a^2+3b^2)$。