驯服骑士巡游：最小化转弯与交叉

我们为骑士巡游引入两个新的“简单性”度量：转弯数与交叉数。我们提出一种新颖算法，在 $n\times n$ 棋盘上生成具有 $9.25n+O(1)$ 次转弯和 $12n+O(1)$ 次交叉的巡游，并给出在最小化这些度量各自问题上的下界 $(6-\epsilon)n$ 与 $4n-O(1)$。因此，我们的算法达到了 $9.25/6+o(1)$ 与 $3+o(1)$ 的近似比。我们的算法耗时线性时间且完全可并行化，即在 CREW PRAM 模型中使用 $p$ 个处理器可在 $O(n^2/p)$ 时间内计算出巡游。我们将技术推广到矩形棋盘、高维棋盘、对称巡游、缺角的奇数棋盘以及 $(1,4)$-leaper 的巡游。在此过程中，我们表明这些扩展在最小转弯数上以及大多数情况下在交叉数上也具有常数近似比。