Kempe 等价的列表染色

在恰当染色的图中，$\alpha,\beta$-Kempe 交换会交换由颜色 $\alpha$ 和 $\beta$ 诱导的子图中某个连通分支上的颜色。若可通过一系列 Kempe 交换（从不使用超过 $k$ 种颜色）从一个图的两种 $k$ 染色得到另一种，则它们是 $k$-Kempe 等价的。Las Vergnas 和 Meyniel 证明了若图是 $(k-1)$-退化的，则其每一对 $k$ 染色都是 $k$-Kempe 等价的。Mohar 对连通 $k$-正则图猜想了相同结论。该猜想对 $k=3$ 由 Feghali、Johnson 和 Paulusma 证明（除单一例外 $K_2\square K_3$，亦称 3-棱柱），对 $k\ge 4$ 由 Bonamy、Bousquet、Feghali 和 Johnson 证明。本文我们证明列表染色上的类似结果。对列表指派 $L$ 和 $L$-染色 $\varphi$，若执行 Kempe 交换得到另一 $L$-染色，则称该 Kempe 交换对 $\varphi$ 是 $L$-有效的。若可通过一系列 $L$-有效 Kempe 交换从一种 $L$-染色得到另一种，则称两种 $L$-染色是 $L$-等价的。设 $G$ 是 $k\ge 3$ 的连通 $k$-正则图。我们证明若 $L$ 是 $k$-指派，则所有 $L$-染色都是 $L$-等价的（同样除单一例外 $K_2 \square K_3$）。当 $k\ge 4$ 时，证明完全自包含，从而给出了 Bonamy 等人结果的另证。我们的证明依赖于如下关键引理，其本身可能具有独立意义。设 $H$ 是这样一个图：对每个度指派 $L_H$，所有 $L_H$-染色都是 $L_H$-等价的。若 $G$ 是包含 $H$ 为诱导子图的连通图，则对 $G$ 的每个度指派 $L_G$，所有 $L_G$-染色都是 $L_G$-等价的。