极小有理曲面上的 K3 覆盖及其光滑化

在本文中，我们研究极小有理曲面 $Y$ 上的 K3 二重结构。结果表明，在 $Y = \mathbb{F}_e$ 上存在由 $\mathbb P^1$ 参数化的无穷多个非分裂抽象 K3 二重结构，其中可数多个是射影的。对于 $Y = \mathbb{P}^2$，存在唯一的非分裂抽象 K3 二重结构，它是非射影的（见 Drézet 在 arXiv:2004.04921 中的文章）。我们证明所有射影 K3 覆盖均可光滑化到光滑 K3 曲面。证明的一个副产品表明，除非 $Y$ 作为极小次数簇嵌入，否则在 $Y$ 上存在无穷多个嵌入的 K3 覆盖结构。此外，我们证明 $\mathbb F_e$ 上 $e<3$ 的任意嵌入射影 K3 覆盖都作为退化到 $2:1$ 态射的嵌入的平坦极限出现。其余的则不是，但我们仍证明了光滑化结果。我们进一步证明，由完全线性系嵌入的、支撑于 $\mathbb{F}_e$ 上的射影 K3 覆盖所对应的 Hilbert 点当且仅当 $0\leq e\leq 2$ 时为光滑点。相比之下，由完全线性系嵌入的、支撑于 $\mathbb{P}^2$ 上的射影 K3 覆盖所对应的 Hilbert 点总是光滑的。Bangere、Gallego 和 González 最近一篇论文中的结果表明，本文结果不存在更高维类比。