从完整水波方程对佩雷格林孤子的论证

佩雷格林孤子 $Q(x,t)=e^{it}(1-\frac{4(1+2it)}{1+4x^2+4t^2})$ 是一维聚焦非线性薛定谔方程（NLS）$iB_t+B_{xx}=-2|B|^2B$ 的精确解，其特征是它在空间与时间无穷远处衰减为 $e^{it}$，并在局部区域具有一个波峰与波谷。它被海洋波浪学界视为 rogue 波的原型。一维 NLS 与完整水波系统的关联在于：渐近地看，它是完整水波包的包络方程。本文在非线性衰减的水波框架内，在允许佩雷格林孤子存在的 regime 下，从完整水波方程严格论证了 NLS。作为副产品，我们证明了完整水波方程在形式为 $H^s(\mathbb{R})+H^{s'}(\mathbb{T})$（其中 $s\geq 4, s'>s+\frac{3}{2}$）的小初值空间中的解的长期存在性。