Janet-Riquier 理论与 2 维和 3 维中的 Riemann-Lanczos 问题

Bampi 和 Caviglia 讨论了 4 维流形的 Riemann-Lanczos 问题。他们利用外微分系统表明，在作适当延拓之前它并非对合微分系统。此处我们引入另一种 Janet-Riquier 理论，并用它考察 2 维和 3 维中的 Riemann-Lanczos 问题。我们发现，在 2 维中 Riemann-Lanczos 问题是对合微分系统。若不施加微分规范条件，它依赖于一个二元任意函数；若施加微分规范条件，则依赖于一个一元任意函数。对两种可能的号差，我们在两种情形下给出通解，以表明特征坐标的出现未必影响结果。在 3 维中，由于出现恒等式，Riemann-Lanczos 问题非对合。这并不妨碍奇异解的存在。对该问题添加一个可积条件作延拓，可得到对合的延拓系统，从而生成延拓 Riemann-Lanczos 问题的非奇异解。我们给出 3 维约化 Goedel 时空下未延拓 Riemann-Lanczos 问题的一个奇异解。