通过 Kuznetsov 分量与加权超曲面的范畴 Torelli 定理研究 IVHS

我们通过其 Kuznetsov 分量的 Hochschild-Serre 代数研究光滑（加权）超曲面在（加权）射影空间中的范畴 Torelli 定理。在论文的第一部分，我们证明：对于 $\mathbb{P}(a_0,\ldots,a_n)$ 中次数为 $d$ 的加权超曲面的 Kuznetsov 分量的 Hochschild-Serre 代数的一个自然分次子代数，在温和假设下重构了由次数 $t := \gcd(d,\sum_{i=0}^n a_i)$ 片生成的雅可比环的分次子代数。利用 Donagi 以及 Cox-Green 的结果，这给出了大多数光滑超曲面 $Y$（在 $\mathbb{P}^n$ 中次数 $d \le n$ 且 $d$ 不整除 $n+1$）的范畴 Torelli 定理（例外为 $(d,n) = (4, 4k+2)$ 形式的情况，对于这些情况，Voisin 的结果让我们在 $k \ge 150$ 时推导出一般的范畴 Torelli 定理）。接下来，我们证明 Veronese 双锥的雅可比环可以从其偶次数分次子代数重构，从而证明了 Veronese 双锥的范畴 Torelli 定理。在第二部分，我们通过 Hochschild-Serre 代数从加权超曲面的 Kuznetsov 分量重建一系列（加权）超曲面的 Hodge 结构的无穷小变分。作为结果，我们证明了两类（加权）超曲面的范畴 Torelli 定理：（1）广义 Veronese 双锥；（2）$\mathbb{P}^n$ 的某些 $k$ 重覆盖，当它们是一般情形时。然后，我们证明了 Kuznetsov 分量为维数 $2m+1$ 的 Calabi-Yau 范畴的 Fano 簇的精细化范畴 Torelli 定理。最后，我们证明了广义 Veronese 双锥和 $\mathbb{P}^n$ 的 $k$ 重覆盖的范畴 Torelli 定理。