特殊 Vinberg 锥、不变可容三次式与特殊实流形

由 Vinberg 理论,任意齐性凸锥 $\mathcal V$ 可实现为广义矩阵 $T$-代数中正 Hermite 矩阵的锥。具有正定 Hessian(对称)形式 $g_q := - \operatorname{Hess}(\log(q))|_{T \mathcal V_q}$ 的齐次三次多项式 $q$ 的层级超曲面 $\mathcal V_{q} \subset \mathcal V$ 即为{\it 特殊实流形}。此类流形作为 $N=2$、$D=5$ 超引力中矢量多重标的标量流形出现,并经由 $r$-映射对应于 $N = 2$ $D = 4$ 超引力中的 K"ahler 标量流形。我们借助 $\operatorname{Nil}$-代数(即 Vinberg $T$-代数中上三角矩阵的子代数)给出 Vinberg 理论的简化阐述,并用其描述特殊 Vinberg 锥上所有 $G_0$- 或 $G'$-不变的有理函数,其中 $G_0$ 是在锥上单可递作用的幂零群 $G$ 的单模子群,$G'$ 是 $G_0$ 的幂零根。结果被用于确定秩 2 和秩 3 特殊 Vinberg 锥上 $G_0$- 和 $G'$-不变且{\it 可容}的三次多项式 $q$(即超曲面 $\mathcal V_q=\{ q=1\}\cap \mathcal V$ 具有正定 Hessian 形式 $g_q$)。由此我们得到了上同维数小于等于二的连续非齐性特殊实流形族的例子。