秩为 4 的特殊 Vinberg 锥

E.B. Vinberg 发展了一套关于齐次凸锥 $C \subset V= \mathbb{R}^n$ 的理论，这一理论在许多应用中具有意义。他给出一种依据非结合秩 $n$ 矩阵 T-代数 $\cal{T}$ 的构造方法，其中由向量值 $n \times n$ 矩阵 $X = ||x_{ij}||, \, x_{ij} \in V_{ij}$ 组成，$V_{ij}$ 为欧几里得向量空间。T-代数的乘法由一组等距映射 $V_{ij} \times V_{jk} \to V_{ik}$ 决定，满足 $|v_{ij}\cdot v_{jk}| = |v_{ij}|\cdot |v_{jk}|$，且满足某些公理。T-代数由其上三角矩阵的关联子代数或其 niladical $\mathcal{N}$ 决定，后者称为 Nil-代数。由上三角(非退化)矩阵组成的 Lie 群 $G$ 在向量空间 $Herm_n \subset\cal{T}$ 中的酉矩阵上起作用，轨道 $C = G(I)\subset Herm_n$ 是身份矩阵 $I$ 的凸锥，具有简单传递作用于 $G$。相反，任何齐次凸锥都可通过这种构造得到。我们定义秩 $n$ 特殊 T-代数和 Clifford Nil-代数的概念，以定义特殊 Vinberg 锥。我们将 Clifford Nil-代数 $\mathcal{N}$ 关联到一个直径为 1 的有向无环图 $\Gamma=\Gamma(\mathcal{N})$，并展示 Clifford Nil-代数与给定图 $\Gamma$ 之间的双曲关系对应于其可接受的装配。这是一种有效的 Clifford Nil-代数及其关联特殊 Vinberg 锥的分类方法。我们将这种方法应用于以可接受装配为基础，对秩 4 的特殊 Vinberg 锥进行显式分类。