基于T-Sylvester预处理的时滞Lyapunov方程迭代法

时滞Lyapunov方程是一个重要的矩阵边值问题，它作为Lyapunov方程的类似物出现在时滞系统 $\dot{x}(t) = A_0x(t)+A_1x(t-\tau)+B_0u(t)$ 的研究中。我们提出了一种求解时滞Lyapunov方程的新算法。该方法基于这样一个事实：时滞Lyapunov方程可以表示为一个线性方程组，其未知量为 $U(\tau/2)\in\mathbb{R}^{n\times n}$，即时滞Lyapunov矩阵在时刻 $\tau/2$ 的值。通过采用预处理迭代法（如GMRES）来求解这个具有 $n^2$ 个未知量的线性矩阵方程。与该线性系统相关联的 $n^2\times n^2$ 矩阵的作用可以通过求解一个耦合矩阵初值问题来计算。基于求解T-Sylvester方程 $MX+X^TN=C$（文献中已有求解方法），为该迭代法提出了一种预处理器。我们证明了该预处理器在某些假设下是有效的。通过将其应用于一个由带时滞偏微分方程离散化得到的时滞系统，说明了该方法的效率。对于规模高达 $n\approx 1000$ 的问题，即具有 $n^2\approx 10^6$ 个未知量的线性系统，可以获得近似解，这一维度超出了其他现有求解时滞Lyapunov方程方法的能力范围。