一种用于广义 Lyapunov 方程的增秩黎曼方法

本文考虑对形如 $A X M + M X A = C$ 的大规模广义 Lyapunov 矩阵方程的解进行低秩逼近,其中 $A$ 和 $M$ 为对称正定矩阵。通过融合增秩技术与商流形 $\mathbb{R}_*^{n \times p} / \mathcal{O}_p$ 上的黎曼优化技术,提出了一种称为广义 Lyapunov 方程增秩黎曼方法(IRRLyap)的算法。为高效求解 $\mathbb{R}_*^{n \times p} / \mathcal{O}_p$ 上的优化问题,开发了基于线搜索的黎曼不精确牛顿法,并保证了其全局收敛性与局部超线性收敛速率。此外,我们推导了一个考虑 $M \neq I$ 的预条件子。数值实验表明,所提出的黎曼不精确牛顿法与预条件子具有优越性能,且在需要最低秩解时,IRRLyap 优于所测试的最先进方法。