一种求解 Lyapunov 方程的迭代方法

我们在此提出一种新的分裂方法，以 Kronecker 积形式求解 $AP + PA^T=-BB^T$ 类型的 Lyapunov 方程。尽管所得矩阵阶数为 $n^2$，但该方法的每次迭代仅需对矩阵 $A$ 进行两次运算：形式为 $(A-\sigma I) \hat{B}$ 的乘法和形式为 $(A-\sigma I)^{-1}\hat{B}$ 的求逆。我们看到，对于参数的某些选择，迭代矩阵的所有特征值绝对值均小于 1，这意味着它应不依赖于起始向量而收敛。尽管如此，我们给出一个定理，说明如何为该法获得良好的起始向量。