反例引导的混合系统多面体 Lyapunov 函数计算

本文提出一种反例引导的迭代算法，用于计算不确定连续时间线性混合系统的凸分段线性（多面体）Lyapunov 函数。多面体 Lyapunov 函数提供了对常用多项式 Lyapunov 函数的一种替代。我们的方法首先刻画了多面体 Lyapunov 函数的内在性质，包括其“偏心率”与对扰动的“鲁棒性”。随后我们推导出一种算法，该算法要么计算出一个证明系统稳定的多面体 Lyapunov 函数，要么断定不存在偏心率与鲁棒性参数满足用户给定界限的多面体 Lyapunov 函数。值得注意的是，我们的方法对所期望的多面体 Lyapunov 函数所含线性片段的数量不加先验限制。该算法在学习步与验证步之间交替，始终维护一个有限的见证状态集。学习步求解一个线性规划，以计算与有限见证状态集相容的候选 Lyapunov 函数。在验证步中，我们的方法验证该候选 Lyapunov 函数是否为系统的有效 Lyapunov 函数。若验证失败，我们获得一个新的见证状态。我们证明了算法所需最大迭代次数的理论界限。我们在数值算例上展示了该算法的适用性。