有理函数 z-1/z 的迭代与 Hausdorff 矩序列

在之前的一篇论文中，我们考虑了一个正函数 $f$，该函数对于 $s>0$ 由以下要求唯一确定：$f(1)=1$，$\log(1/f)$ 是凸的，以及函数方程 $f(s)=\psi(f(s+1))$，其中 $\psi(s)=s-1/s$。我们证明了 $f$ 到整个复平面的亚纯延拓由公式 $f(z)=\lim_{n\to\infty}\psi^{\circ n}(\lambda_n(\lambda_{n+1}/\lambda_n)^z)$ 给出，其中数 $\lambda_n$ 由 $\lambda_0=0$ 和递归关系 $\lambda_{n+1}=(1/2)(\lambda_n+\sqrt{\lambda_n^2+4})$ 定义。数 $m_n=1/\lambda_{n+1}$ 构成了概率测度 $\mu$ 的 Hausdorff 矩序列，使得 $\int t^{z-1}d\mu(t)=1/f(z)$。