Sibuya 分布是一种 progeny 吗

对 $0<a<1$，Sibuya 分布 $s_a$ 集中于正整数集 $\mathbb{N}^+$ 上，并由生成函数 $\sum_{n=1}^{\infty}s_a(n)z^n=1-(1-z)^a$ 定义。$\mathbb{N}^+$ 上的分布 $q$ 称为一个 progeny，若存在 Galton-Watson 过程 $(Z_n)_{n\geq 0}$ 使得 $Z_0=1$、$\mathbb{E}(Z_1)\leq 1$ 且 $q$ 为 $\sum _{n=0}^{\infty}Z_n$ 的分布。本文证明 $s_a$ 是一个 progeny 当且仅当 $\frac{1}{2}\leq a<1$。关键在于找出满足 $u(1-(1-u)^b)^{-1}$ 的幂级数展开具有非负系数的 $b=1/a$ 值。证明不短，但是初等的。