五种最简自然指数族的累积分布函数

设 $X_a$ 的分布属于集中在非负整数上的自然指数族，且满足 $\E(z^{X_a})=f(az)/f(a)$。假设 $\Pr(X_a\leq k)$ 具有形式 $c_k\int_a ^{\infty}u^k\mu(du)$，其中某数 $c_k$ 与某正测度 $\mu$ 均独立于 $a$。我们证明该假设蕴含此指数族为二项、泊松或负二项族之一。接着，我们研究连续分布的类似性质，发现其成立当且仅当该族为高斯族或伽马族。最终，证明依赖于如下事实：仅默比乌斯函数保持交比。关键词：二项分布、泊松分布与负二项分布。高斯分布与伽马分布。默比乌斯变换。交比。