不可约度量映射与Weil-Petersson体积

我们考虑亏格$g$曲面上的映射，其所有顶点度数至少为三，且边被赋予正实长度。特别地，我们研究此类具有固定亏格$g$和固定面数$n$的度量映射族，面的周长为$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$，并带有$\beta$-不可约约束，该约束大致要求所有可收缩圈的长度至少为$\beta$。利用近期关于带不可约约束的离散映射计数的结果，我们计算了该映射族的体积$V_{g,n}^{(\beta)}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$，它自然源于边长度上的Lebesgue测度。它被证明是$\beta, \alpha_1,\ldots, \alpha_n$的$6g-6+2n$次齐次多项式，并满足弦方程和膨胀子方程。令人惊讶的是，对于$g=0,1$且$\beta=2\pi$，体积$V_{g,n}^{(2\pi)}$除2的幂次外与亏格$g$、具有$n$个测地边界分量（长度为$L_i = \sqrt{\alpha_i^2 - 4\pi^2}$，$i=1,\ldots,n$）的双曲曲面的Weil-Petersson体积$V_{g,n}^{\mathrm{WP}}$相同。对于亏格$g\geq 2$，体积间的恒等式失效，但我们给出了两类体积的显式生成函数，表明它们密切相关。最后我们讨论了通过双曲多面体进行双射解释的可能性。