位势理论的逆问题

P. Novikov 于 1938 年证明：若对 $|x|>R$ 有 $u_1(x)=u_2(x)$，其中 $R>0$ 为一大数，$$u_j(x):=\int_{D_j}g_0(x,y)dy, \quad g_0(x,y):=\frac 1 {4\pi |x-y|},$$ 且 $D_j\subset \mathbb{R}^3$，$j=1,2$，$D_j\subset B_R$ 为含于 $B_R$ 内的有界、连通、光滑区域，并关于公共点星型，则 $D_1=D_2$。这里 $B_R:= \{x: |x|\le R\}$。我们的基本结果是：a) 去掉了关于 $D_j$ 星型性的假设，b) 给出了该问题的一个新途径，c) 对类似问题构造了反例，其中 $g_0$ 被替换为 $g=\frac {e^{ik|x-y|}}{4\pi |x-y|}$，这里 $k>0$ 为一固定常数。