近复流形与近凯勒流形的不变量

设 $(M^{2n},J)$ 为紧致近复流形。近复不变量 $h^{p,q}_J$ 定义为上同调空间 $\left\{\left[\alpha\right]\in H^{p+q}_{dR}(M^{2n};\mathbb{C}) \,\vert\,\alpha\in A^{p,q}(M^{2n}),\, d\alpha = 0 \right\}$ 的复维数。当 $2n=4$ 时，它具有许多有趣的性质。赋予 $(M^{2n},J)$ 一个近厄米度量 $g$。数 $h^{p,q}_d$，即 Hodge-de Rham 调和 $(p,q)$-形式的空间的复维数，在 $2n=4$ 时是近凯勒不变量。本文中我们研究 $2n\ge4$ 维时 $h^{p,q}_J$ 与 $h^{p,q}_d$ 之间的关系。我们证明若 $J$ 不可积则 $h^{n,0}_J=0$，并说明 $h^{p,0}_d$ 是近凯勒不变量。若 $M^{2n}$ 为完全可解李群的紧商且 $(J,g,\omega)$ 为左不变的，我们也得到关于 $h^{1,1}_d$ 的信息。最后我们研究特殊维数 $2n=4m$ 时 $J$ 在 $n$-形式上的 $\mathcal{C}^\infty$-纯与 $\mathcal{C}^\infty$-满性质。