自由左正则带的不变理论及其 q-类比

我们从不变理论的角度考察了两个具有大型对称群的幺半群代数。第一个幺半群是 $n$ 个字母上的自由左正则带，定义于所有单射词（即每个字母至多出现一次的单词）的集合上。该幺半群带有对称群的作用。第二个幺半群是 K. Brown 所考虑的一个其 $q$-类比，带有有限一般线性群的作用。在两种情形下，我们证明了不变子代数是半单交换代数，并利用 Stirling 数与 $q$-Stirling 数对其进行了刻画。随后，我们利用随机游走与随机置顶洗牌理论的结果，将整个幺半群代数分解为不可约分量，同时作为不变环上的模与群表示。我们的不可约分解由 Désarménien 与 Wachs 引入的错排对称函数描述。