不可约曲线与 Hermitian 曲线的交点

设 $\mathcal{H}_q$ 表示域 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上 $\mathbb{P}^2$ 中的 Hermitian 曲线，$\mathcal{C}_d$ 为域 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上定义的另一个不可约平面投影曲线，次数为 $d$。$\mathcal{H}_q$ 和 $\mathcal{C}_d$ 是否恰好在 $d(q+1)$ 个互异的 $\mathbb{F}_{q^2}$ 有理点相交？巴赫尔定理立即表明 $\mathcal{H}_q$ 和 $\mathcal{C}_d$ 最多相交 $d(q+1)$ 个点，但在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上等式并非必然成立。本文证明对于许多 $d \le q^2-q+1$，该问题的答案为肯定。$d=1$ 的情况是平凡的：众所周知，任何在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上定义的 $\mathcal{H}_q$ 的切线都在 $q+1$ 个有理点相交。此外，Donati 等人在 2009 年对圆锤曲线与 $\mathcal{H}_q$ 的所有可能交点进行了分类，其结果表明对于 $d=2$ 且 $q \ge 4$ 时，问题的答案也是肯定的。然而，充分的计算机搜索迅速揭示对于 $(q,d) \in \{(2,2),(3,2),(2,3)\}$，答案为否定。我们证明对于 $q \le d \le q^2-q+1$，且 $d=\lfloor(q+1)/2\rfloor$ 或 $d=3$ 且 $q \ge 3$ 时，答案再次为肯定。也提供了关于 $d$ 相对于 $q$ 小的各种部分结果。