Okubo代数中的积分元与E8格

本文研究了Coxeter-Dickson $E_{8}$-order、para-八分数以及实Okubo代数之间的相互作用。我们证明了Coxeter-Dickson order在para-八分数乘法下保持封闭，从而恢复了一个具有底层格为 $E_{8}$ 的正整数积分系统。有趣的是，Okubo乘法以不同的更算术的方式工作：它迫使 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$-系数并不保持相同的整数秩。经过一次对角化的2-原初缩放后，我们获得了一个封闭的 $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$-order，其直接度量阴影是一个 $2$-原初导体子格，而非 $E_{8}$ 本身。只有通过2-原初饱和，等价于通过粘接，才能恢复格 $E_{8}$，且这种恢复是度量算术性的，而非乘法性的。