不规则论证下 Brouwer 度的可积性

我们证明，对于函数 $u\in C^{0,\alpha}( U;\mathbb{R}^n)$，若 $1\leq p<\frac{n\alpha}d$，则其 Brouwer 度 $\mathrm{deg}(u,U,\cdot)$ 属于 $L^p(\mathbb{R}^n)$，其中 $U\subset \mathbb{R}^n$ 是开且有界的，$d$ 是 $\partial U$ 的盒维数。作为补充，我们给出了一个定理，表明在参数范围 $1\leq p<\frac{n\alpha}d$ 下，$u_j\to u$ 在 $C^{0,\alpha}(U;\mathbb{R}^n)$ 中成立意味着 $\mathrm{deg}(u_j,U,\cdot)\to \mathrm{deg}(u,U,\cdot)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 中成立；而在相反的范围 $p>\frac{n\alpha}d$ 下，存在 $C^{0,\alpha}(U;\mathbb{R}^n)$ 中的收敛序列 $u_j\to u$ 使得 $\|\mathrm{deg}(u_j,U,\cdot)\|_{L^p}\to \infty$。