Gu-Yung公式的度量对应形式

本文考虑将近期工作[Gu-Yung, JFA 281 (2021), 109075]推广到度量设定。特别地,我们证明在度量测度空间$(X,d,\nu)$的相对较弱条件下,以下等式成立: $$\bigg[ \frac{u(x)-u(y)}{d(x,y)^{\frac{s}{p}}} \bigg]_{L^p_w(X \times X, \nu \otimes \nu)} \approx \| u \|_{L^p(X,\nu)},$$ 其中$s$是与$X$相关的广义维数,$[\cdot]_{L^p_w}$是弱Lebesgue范数。我们提供了一些反例,表明我们的假设是最优的。