近Hermite与近Kaehler四维流形的可积性条件

若 $W_+$ 表示任意 K"ahler 四维流形的 Weyl 张量的自对偶部分，$S$ 为其数量曲率，则关系 $|W_+|^2 = S^2/6$ 是众所周知的。对于任意满足 $S \ge 0$ 的近 K"ahler 四维流形，该条件迫使其具有 K"ahler 性质。一个紧近 K"ahler 四维流形若满足条件 $| W_+ |^2 = S^2/6$ 且 $\delta W_+=0$，或者若其为 Einstein 且 $| W_+|$ 为常数，则其已经是 K"ahler 的。本文证明了此类的一些进一步结果。一个满足 $\mathrm{supp} (W_+)=M$ 的近 Hermite 四维流形 $(M,g,J)$，若满足条件 $| W_+ |^2 = 3 (S_{\star} - S/3)^2 /8$ 并分别满足 $|\nabla W_+ | = | \nabla |W_+||$ 或 $\delta W_+ + \nabla \log | W_+ | \lrcorner W_+ =0$，则其已经是 K"ahler 的。这里的近复结构 $J$ 仅通过星号数量曲率 $S_{\star}$ 显式地进入。