广义谢尔宾斯基图的单射（边）染色

广义谢尔宾斯基图构成了一类独特的、具有递归定义的分形网络：给定一个图$G$，$S_G^1=G$，而$S_G^n$由$|V(G)|$个$S_G^{n-1}$的副本通过以规定方式添加一些边而得到，这种方式反映了$G$的结构。许多图不变量已在广义谢尔宾斯基图中得到研究。在本文中，我们关注它们的单射染色，包括顶点版本和边版本。给定一个图$G$，一个为$G$的每个顶点（或边）分配一个来自$\{1,\ldots,k\}$的整数的映射$f$，若对于$G$中任意两个顶点（或边）$x$和$y$，$f(x)=f(y)$意味着$x$和$y$不在同一个三角形中且距离不为$2$，则称$f$为$G$的一个单射（边）染色。存在单射（边）染色的最小颜色数$k$称为$G$的单射色数（或单射色指数），记为$\chi_i(G)$（或$\chi_i'(G)$）。广义谢尔宾斯基图中单射染色的顶点版本在早期的一篇论文中已有研究，作者确定了标准谢尔宾斯基图的单射色数，并提出了当$G$为圈图时的取值问题。我们通过证明对于每个$n\ge 2$和每个$k\ge 3$，有$\chi_i(S_{C_k}^n)=3$，解决了这个问题。此外，我们证明了一个几乎结论性的结果：对于任意图$G$和任意$n\ge 2$，有$\chi_i(S_G^n)\in \{\chi_i(G),\chi_i(G)+1\}$。对于单射边染色，我们证明对于所有$n\ge 3$，有$\chi_i'(S_{K_3}^n)=5$，而$\chi_i'(S_{K_3}^2)=4$且$\chi_i'(S_{K_3}^1)=3$。进一步地，若$G$是一个无三角形图，我们证明对于所有$n\ge 4$，有$\chi_i'(S_G^n)\in \{\chi_i'(S_G^3),\chi_i'(S_G^3)+1\}$，并提供了一些关于$G$的三维谢尔宾斯基图单射边染色的充分条件，这些条件确保了$\chi_i'(S_G^n)=\chi_i'(S_G^3)$。