$\Real^d$ 中具有非线性扩散的非齐次 Patlak-Keller-Segel 模型与聚集方程

聚集方程和具有非线性扩散的趋化性 Patlak-Keller-Segel (PKS) 模型是非局部聚集现象的流行模型，也是非线性偏微分方程中许多有趣数学问题的来源。本文的工作有两个目的。首先，我们继续之前的工作，该工作侧重于以卷积建模的非局部聚集。其目标是统一这些卷积型模型的局部和全局理论，包括识别尖锐临界质量；然而，一些涉及无界区域的情况仍未解决。特别是，生物学上相关的情况 $\Real^2$ 未得到处理。在本文中，我们提出了局部存在性的另一种证明，该证明现在适用于所有 $d \geq 2$ 的 $\Real^d$，并给出了之前未解决的全局结果。该证明与之前的工作不同之处在于，它使用了一种更直接且直观的正则化方法，在 $\Real^d$ 上而非在有界区域序列上构造近似解。其次，本文为一系列具有空间变化扩散和趋化剂衰减率的 Patlak-Keller-Segel 模型发展了局部、次临界和小数据临界理论。