φ-形变指数族的 information geometric 对偶性

在广义熵的世界中——例如，在每自由度具有亚指数和超指数相空间增长的物理系统中发挥作用——存在两种在最大熵原理中实施约束的方式：线性约束与 escort 约束。二者在不同语境中自然出现。线性约束出现在例如物理系统中，当通过高阶矩获得关于系统的额外信息时。Escort 分布在多重分形与信息几何的语境中自然出现。最近研究表明，存在一种基本对偶性，在相应形变对数（形变-对数对偶）的基础上关联这两种方法。此处我们证明，在信息几何语境中存在另一种对偶性，它将对应于线性约束（由 J. Naudts 研究）的 φ-形变指数族的 Fisher 信息与基于 escort 约束（由 S.-I. Amari 研究）的相应 Fisher 信息关联起来。我们针对 $(c,d)$-熵显式演示了这一信息几何对偶性，该熵涵盖所有与 Shannon-Khinchin 前三条公理相容的情形，并将 Shannon、Tsallis、Anteneodo-Plastino 熵等许多情形作为特例包含在内。最后，我们讨论形变-对数对偶与信息几何对偶之间的关系，并指出两种对偶中出现的 escort 分布通常不同，且仅在 Tsallis 形变情形下重合。