一类耗散力学系统的无穷维哈密顿描述

本文提出了一种方法，将一类耗散力学系统表示为相应的无穷维哈密顿系统。该方法基于以下结构：对于任意非保守经典力学系统和任意初始条件，存在一个保守系统；这两个系统共享且仅共享一条公共相曲线；并且，保守系统的哈密顿量值，相差一个加性常数，等于非保守系统在上述相曲线上的总能量，该常数取决于初始条件。我们详细描述了这种关系，并将该保守系统称为“替代”保守系统。通过将耗散力学系统视为相空间区域$D$中的一种特殊流体，即该区域中粒子的集合，我们得以将该系统发展为一个理想流体的无穷维哈密顿系统。通过比较拉格朗日坐标下理想流体的描述，我们可以将哈密顿量和拉格朗日量分别视为替代保守系统的哈密顿量和拉格朗日量在初值空间上的积分，并定义一个新的泊松括号以哈密顿形式表达运动方程。该方法的优点在于，正则动量密度$\pi$的值与力学动量$m\dot{q}$的值相同，而正则坐标$q$的值与耗散力学系统的坐标值相同。因此，我们无需将牛顿运动方程解耦为多个一维常微分方程。