从哈密顿视角审视耗散力学系统的时间中心差分格式

在本文中，我们提出了一种从哈密顿视角观察耗散力学系统的时间中心差分格式的方法，并将辛算法的思想引入耗散系统。本文讨论的耗散力学系统是有限维的。该方法基于一个命题：对于任何非保守经典力学系统和任何初始条件，存在一个保守系统；这两个系统共享一条且仅一条公共相曲线；保守系统的哈密顿量是非保守系统在上述相曲线上的总能量与一个依赖于初始条件的常数之和。因此，该方法需要针对不同的初始条件，用无限多个保守系统替代一个耗散力学系统。因此，我们首先直接使用时间中心差分格式求解原始系统，然后用数值解替代解析解，在相曲线上构造一个等于耗散力的保守力，从而在数值上获得一个替代的保守系统。最后，我们使用时间中心格式对替代系统进行数值积分。我们会发现一个有趣的事实：由替代系统得到的后一个解等价于前一个解。实际上，在时间网格点内存在两个转移矩阵：第一个是非辛的，第二个是辛的。事实上，耗散系统的时间中心格式可以被视为一种保持替代保守系统辛结构的算法。此外，通过数值算例，我们发现时间中心格式保持了耗散系统的总能量。