实半单李代数的指标与 Cartan 分解

实半单李代数 $\mathfrak{g}_0$ 的 Iwasawa 分解 $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}_0 \oplus \hat{\mathfrak{a}}_0 \oplus \mathfrak{n}_0$ 源于其 Cartan 分解 $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{p}_0$。于是我们得到 $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{b}_0$，其中 $\mathfrak{b}_0=\hat{\mathfrak{a}}_0 \oplus \mathfrak{n}_0$。关于指标在分解 $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{b}_0$ 中是否可加的问题可追溯到 M. Raïs \cite{Rais}。在 \cite{Moreau3} 中，我写道该分解的指标总是可加的。确切地说，我声称 $\mathfrak{b}$ 的指标由以下公式给出：${\rm ind} \mathfrak{b} = {\rm rk}\ \mathfrak{g} - {\rm rk}\ \mathfrak{k}$，其中 $\mathfrak{b}$ 是 $\mathfrak{b}_0$ 的复化。这一结果一般而言是错误的。我们实际上有一个不等式：${\rm ind} \mathfrak{b} \geq {\rm rg}\ \mathfrak{g} - {\rm rg}\ \mathfrak{k}$。本文的目标是修正这一错误。我们重述 \cite{Moreau3} 的方法以此次得到前述不等式。进而我们给出了在分解 $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{b}_0$ 中指标可加的半单实李代数 $\mathfrak{g}_0$ 的一个刻画。此外，我们在本文中研究了 $\mathfrak{g}$ 的某些子代数的拟约化特征。相较于 \cite{Moreau3} 这是新的部分。