$R^3 \times S^1$ 上拓扑激发的指标定理与 Chern-Simons 理论

我们推导了在 $R^3 \times S^1$ 几何上各种拓扑激发背景下的 Dirac 算子的指标定理。该指标定理提供了比 $R^4$ 上瞬子的 APS 指标更精细的数据，并在去紧致极限下还原了后者。在 $R^3$ 极限下，它退化为 Callias 指标定理。该指标用拓扑荷和与边界 Dirac 算子相关的 eta 不变量表示。拓扑荷和 eta 不变量通常都不是整数，然而，它们的非整数部分相互抵消，给出了整数值的指标。我们的推导基于轴矢流不守恒——一个在任何四维流形上均成立的确切算子恒等式——以及中心对称或近似中心对称的边界和乐（Wilson 线）的存在。我们预期该指标定理将有益地应用于许多感兴趣的物理系统，例如规范理论的低温（大 $S^1$，禁闭）相、具有矢量型或手征物质的中心稳定 Yang-Mills 理论（在任意大小的 $S^1$ 处），以及具有保持超对称边界条件的超对称规范理论（同样在任意 $S^1$ 处）。在类 QCD 和手征规范理论中，该指标定理应有助于阐明导致手征对称性破缺和规范部分质量隙产生的拓扑激发的本质。我们还表明，在含费米子的规范理论中施加手征扭曲边界条件会在红外处诱导出 Chern-Simons 项。这表明某些类 QCD 规范理论在小 $S^1$ 区域应具有拓扑 Chern-Simons 相的分量。