连通控制临界图的独立数与连通度

若图 $G$ 满足连通控制数 $\gamma_{c}(G) = k$ 且对每条 $uv \in E(\overline{G})$ 有 $\gamma_{c}(G + uv) < k$，则称 $G$ 为 $k$-$\gamma_{c}$-临界图。设 $\delta, \kappa$ 和 $\alpha$ 分别为最小度、连通度和独立数。本文证明 $3$-$\gamma_{c}$-临界图 $G$ 满足 $\alpha \leq \kappa + 2$。此外，若 $\kappa \geq 3$，则对所有 $p \in \{1, 2\}$ 有 $\alpha = \kappa + p$ 当且仅当 $\alpha = \delta + p$。我们表明条件 $\kappa + 1 \leq \alpha \leq \kappa + 2$ 是证明 $\kappa = \delta$ 的最佳可能。基于这些结果，我们以关于 $3$-$\gamma_{c}$-临界图的哈密顿连通性的一个开放问题结束本文。