控制支配数的顶点临界无爪图的哈密顿性

若图 $G$ 的支配数 $\gamma(G)$ 为 $k$，且对 $G$ 的任意顶点 $v$ 有 $\gamma(G - v) < k$，则称 $G$ 为 $k$-$\gamma$-顶点临界图。类似地，若图 $G$ 的连通支配数 $\gamma_{c}(G)$ 为 $k$，且对 $G$ 的任意顶点 $v$ 有 $\gamma_{c}(G - v) < k$，则称 $G$ 为 $k$-$\gamma_{c}$-顶点临界图。感兴趣的问题是判断 $2$-连通的 $k$-$\gamma$-顶点临界图是否为哈密顿图。本文对所有 $k \geq 3$，给出一个非哈密顿的 $2$-连通 $k$-$\gamma$-顶点临界图。我们证明每个 $2$-连通的 $3$-$\gamma$-顶点临界无爪图是哈密顿图，且无爪条件是必要的。对于 $k$-$\gamma_{c}$-顶点临界图，我们提出一种新方法来证明每个 $2$-连通的 $3$-$\gamma_{c}$-顶点临界无爪图是哈密顿图。此外，对 $4 \leq k \leq 5$，我们证明每个 $3$-连通的 $k$-$\gamma_{c}$-顶点临界无爪图是哈密顿图。我们通过给出包含爪作为诱导子图的 $k$-$\gamma_{c}$-顶点临界非哈密顿图（$3 \leq k \leq 5$）来说明无爪条件是必要的。