将插入缺失信道纳入 seed-chain-extend 的平均情况分析

给定一个从大小为 $\sigma$ 的字母表中独立同分布抽取的 $n$ 个字母的序列 $s_1$，以及一个长度为 $m < n$ 的突变子串 $s_2$，我们通常希望恢复从 $s_1$ 生成 $s_2$ 的突变历史。现代序列比对工具广泛用于此任务，许多采用具有 $k$-mer 种子 的 seed-chain-extend 启发式方法。此前，Shaw 和 Yu 证明了在仅替换信道下，最优线性间隙代价链式连接可以以 $O\left(mn^{2.43\theta} \log n\right)$ 的期望时间产生具有 $1 - O\left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right)$ 可恢复性的链，其中 $\theta < 0.206$ 为突变率，且 $s_1$ 假设为均匀随机。然而，理论与实际之间存在差距，因为真实基因组数据包含插入和缺失（indels），而 seed-chain-extend 仍然有效。在本文中，我们通过引入数学工具来处理由 indel 信道引入的两个新障碍——邻近锚点的依赖性以及仅部分正确的锚点的存在——从而推广了前述结果。我们因此证明，最优链的期望可恢复性为 $\ge 1 - O\Bigl(\frac{1}{\sqrt{m}}\Bigr)$，期望运行时间为 $O(mn^{3.15 \cdot \theta_T}\log n)$，其中总突变率（替换、插入和删除突变率之和 $\theta_T = \theta_i + \theta_d + \theta_s$）小于 $0.159$。