存在插入与删除情况下的高效平均情形种群恢复

最近的几项工作考虑了迹重构问题，其中未知源字符串 $x\in\{0,1\}^n$ 通过一个可能随机删除坐标或插入随机比特的概率信道传输，从而产生 $x$ 的一个迹。目标是从 $x$ 的独立迹中重构原始字符串 $x$。虽然针对最坏情形字符串的已知最佳算法使用 $\exp(O(n^{1/3}))$ 条迹 \cite{DOS17,NazarovPeres17}，但对于 $x$ 均匀随机的平均情形版本，已知存在高效的算法 \cite{PZ17,HPP18}。我们考虑该平均情形迹重构问题的一个推广，我们称之为存在插入与删除情况下的平均情形种群恢复。在此问题中，存在一个关于 $s$ 个未知源字符串 $x^1,\dots,x^s \in \{0,1\}^n$ 的未知分布 $\cal{D}$，每个样本通过从 $\cal{D}$ 中抽取某个 $x^i$ 并返回 $x^i$ 的一个独立迹独立生成。基于 \cite{PZ17} 和 \cite{HPP18}，我们为该问题提供了一种高效算法。对于任意支持集大小 $s \leq \smash{\exp(\Theta(n^{1/3}))}$，对于所有 $s$ 元素支持集 $\{x^1,\dots,x^s\} \subset \{0,1\}^n$ 中的 $1-o(1)$ 比例，对于每个以 $\{x^1,\dots,x^s\}$ 为支持的分布 $\cal{D}$，在给定对来自 $\cal{D}$ 的独立抽取的独立迹的访问权限下，我们的算法能以高概率高效地恢复 ${\cal D}$ 至全变差距离 $\epsilon$ 以内。该算法运行时间为 poly$(n,s,1/\epsilon)$，其样本复杂度为 poly$(s,1/\epsilon,\exp(\log^{1/3}n))$。这种对支持集大小 $s$ 的多项式依赖与最坏情形版本（当 $x^1,\dots,x^s$ 可以是 $\{0,1\}^n$ 中的任意字符串时）形成鲜明对比，在最坏情形中，已知最高效算法 \cite{BCFSS19} 的样本复杂度在 $s$ 上呈双重指数级。