随机字符串与任意删除概率下的次多项式迹重建

插入-删除信道以比特串 ${\bf x}\in\{0,1\}^{n}$ 为输入，输出一串在随机独立地删除和插入比特后得到的字符串。迹重建问题是从应用于 $\bf x$ 的插入-删除信道的许多独立输出（称为“迹”）中恢复 $\bf x$。我们证明，若 $\bf x$ 均匀随机选取，则 $\exp(O(\log^{1/3} n))$ 条迹足以以高概率重建 $\bf x$。对于删除概率为 $q < 1/2$ 的删除信道，此前上界为 $\exp(O(\log^{1/2} n))$。$q\geq 1/2$ 的情形或允许插入的情形此前未被分析，因此此前上界同最坏情形字符串一样，即 $\exp(O( n^{1/3}))$。我们还证明我们的重建算法运行时间为 $n^{1+o(1)}$。证明中的一个关键要素是一个精细的两步对齐过程，其中我们估计每条迹中对应于 $\bf x$ 给定比特的位置。该对齐通过将字符串视为随机游走并比较分别与输入串和迹相关联的游走增量来完成。