删除信道下种群恢复问题的改进算法

种群恢复问题要求给定从未知分布中抽取的独立含噪字符串样本，恢复该分布于 $n$ 位字符串上的未知分布。近期，Ban 等人 [BCF+19] 研究了噪声由删除信道引起的该问题。此问题推广了著名的迹重建问题，后者旨在删除信道下学习单个字符串。Ban 等人展示了如何使用 $\exp\big(n^{1/2} \cdot (\log n)^{O(\ell)}\big)$ 个样本学习字符串上的 $\ell$-稀疏分布。本工作中，我们通过发展 [DOS17, NP17] 算法的矩高阶类比（该算法以 $\exp\big(\tilde{O}(n^{1/3})\big)$ 样本解决迹重建），仅用 $\exp\big(\tilde{O}(n^{1/3}) \cdot \ell^2\big)$ 个样本学习该分布。我们还给出了首个运行时间在 $n$ 上亚指数的算法，以 $\exp\big(\tilde{O}(n^{1/3}) \cdot \ell^3\big)$ 样本与时间解决种群恢复。值得注意的是，当 $\ell = O(1)$ 时，我们对 $n$ 的依赖几乎匹配 [DOS17, NP17] 的上界，且我们将对 $\ell$ 的依赖从双指数降为单指数。因此，我们能够学习大规模字符串混合：Ban 等人的算法仅能以亚指数样本量学习 $O(\log n/\log \log n)$ 个字符串的混合，而我们能以 $\exp\big(n^{1/3 + o(1)}\big)$ 样本与时间学习 $n^{o(1)}$ 个字符串的混合。