平滑复杂度模型下的多项式时间迹重建

在\emph{迹重建问题}中，未知源字符串$x \in \{0,1\}^n$被发送通过一个概率\emph{删除信道}，该信道以概率$\delta$独立删除每一比特并拼接存活的比特，得到$x$的一个\emph{迹}。问题是在给定独立迹的情况下重建$x$。近年来该问题受到了广泛关注，既在$x$可以是$\{0,1\}^n$中任意字符串的最坏情形设定下\cite{DOS17,NazarovPeres17,HHP18,HL18,Chase19}，也在$x$从$\{0,1\}^n$均匀随机抽取的平均情形设定下\cite{PeresZhai17,HPP18,HL18,Chase19}。本文研究\emph{平滑分析}设定下的迹重建，其中任意从$\{0,1\}^n$中选取一个“最坏情形”字符串$x^{\worst}$，然后通过以概率$\sigma$独立将每个坐标替换为均匀随机比特形成$x^{\worst}$的一个扰动版本$\bx$。问题是在给定来自它的独立迹的情况下重建$\bx$。我们的主要结果是，对于任意常数扰动率$0<\sigma < 1$与任意常数删除率$0 < \delta < 1$，一个算法使用$\poly(n)$的运行时间与迹，并以高概率成功重建字符串$\bx$。这与该问题的最坏情形版本形成对比，后者已知最好的时间与样本复杂度为$\text{exp}(O(n^{1/3}))$\cite{DOS17,NazarovPeres17}。我们的方法基于从$x$的短子词的多重集重建$\bx$，与先前针对该问题最坏情形或平均情形版本的算法颇为不同。我们工作的核心是一个新的$\poly(n)$时间过程，用于在可访问$x$的迹时重建任意源字符串$x\in \{0,1\}^n$的所有$O(\log n)$长度子词的多重集。