一种基于实例的迹重构问题方法

在迹重构问题中，我们观察一个二进制字符串 $s \in \{0,1\}^n$ 通过删除信道 $T$ 次后的输出，并希望从得到的 $T$ 条“迹”中恢复 $s$。大多数文献都集中在从最坏情况或平均情况（针对输入序列 $s$）下完美重构所需的迹的数量 $T$ 的角度来刻画该问题的难度。在本文中，我们提出了一种替代的、基于实例的方法来解决该问题。我们将问题实例 $(s,T)$ 的“Levenshtein难度”定义为所得迹不能提供足够信息以完全确定地正确恢复的概率。然后，我们可以尝试针对特定的 $s$，刻画 $T$ 需要如何缩放才能使Levenshtein难度趋于零，并寻找对每个 $s$ 都匹配这种缩放的重构算法。我们推导了Levenshtein难度的下界，并证明对于非常广泛的一类字符串，要使Levenshtein难度趋于零，$T$ 需要以 $n$ 的指数级速度缩放。对于一类具有交替长游程的二进制字符串，我们设计了一种算法，只要Levenshtein难度趋于零，其重构错误概率就趋于零。对于这一类字符串，我们还证明了该算法的错误概率衰减速度至少与Levenshtein难度一样快。